Die Sprache der Messdaten: Mittelwert, Stichprobenstandardabweichung und Konfidenzintervall

Warum das wichtig ist

Zyklen derselben Methode enden nicht immer nach derselben Zeit. Der Mittelwert fasst diese Zeiten zu einer Zahl zusammen, sagt aber nichts über die Streuung der Beobachtungen. Die Stichprobenstandardabweichung drückt diese Streuung in der Zeiteinheit aus. Zwei Arbeiten können denselben Mittelwert und unterschiedliche Streuungen haben. Deshalb werden Mittelwert, Standardabweichung und Beobachtungszahl gemeinsam berichtet. Vor der Berechnung wird geprüft, ob die Aufzeichnungen dieselbe Arbeit umfassen. Eine aus Zeiten verschiedener Methoden zusammengefasste, ordentlich aussehende Zahl kann keine der Methoden richtig repräsentieren. Statistik korrigiert keine Messung mit unklaren Grenzen; sie hilft zu beurteilen, was definierte, vergleichbare Messungen aussagen.

Die Stichprobe umfasst nur einen Teil aller möglichen untersuchten Zyklen. Aus diesem Teil werden Mittelwert und Streuung geschätzt. Bei der Stichprobenvarianz wird die Summe der quadrierten Abweichungen durch die um eins verringerte Beobachtungszahl, also n−1, geteilt. Denn auch der Mittelwert, auf den sich die Abweichungen beziehen, wurde aus denselben Daten berechnet. Da die Summe aller Abweichungen null ist, kann die letzte Abweichung nicht unabhängig von den übrigen gewählt werden. Das hilft zu verstehen, warum der Divisor nicht n ist. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Werden Zeiten in Sekunden gemessen, hat die Varianz die Einheit s² und die Standardabweichung die Einheit s. Die Verfolgung der Einheiten erleichtert auch das Erkennen verwechselter Größen.

Das Konfidenzintervall des Mittelwerts ist keine Grenze für die Dauer eines einzelnen Zyklus. Bei unabhängigen, annähernd normalverteilten Beobachtungen wird ein t-Wert verwendet, wenn die unbekannte Streuung aus der Stichprobe geschätzt wird. In dieser Lektion wird für 95 % Konfidenzniveau t(4; 95 %)=2,776 verwendet. Die erste Zahl in Klammern ist die Zahl der Freiheitsgrade; bei fünf Beobachtungen ergibt sich 5−1=4. Die Breite des Konfidenzintervalls hängt von Standardabweichung, Beobachtungszahl und dem Faktor ab. Mehr unabhängige Beobachtungen können bei sonst ähnlichen Bedingungen die Mittelwertschätzung eingrenzen. Sie verringern jedoch nicht automatisch die tatsächliche Schwankung einzelner Zyklen. Mehr zu messen und die Methode zu verbessern, sind unterschiedliche Aufgaben.

95 % Konfidenz bedeutet nicht, dass 95 % der beobachteten Zyklen innerhalb des berechneten Intervalls liegen. Würden Stichprobenziehung und Intervallbildung unter denselben Bedingungen oft wiederholt, ist das Verfahren so ausgelegt, dass ungefähr 95 % der Intervalle den tatsächlichen Mittelwert einschließen. Für ein einzelnes berechnetes Intervall wird keine Gewissheit zugesagt. Abhängige Aufzeichnungen, ein Lerntrend oder vermischte Methoden schwächen diese Interpretation. Beim Berichten des Ergebnisses müssen auch die Annahmen sichtbar sein. Diese Lektion soll keine komplexen Verteilungen lösen, sondern Mittelwert und Einzelzyklus trennen und die Eingaben der Beobachtungszahlberechnung richtig aufbauen. In der nächsten Lektion wird darauf die angestrebte Genauigkeit aufgebaut.

Formel