Warteschlange, Variabilität und Ressourcenauslastung

Warum das wichtig ist

Auch wenn die mittlere Belastung einer Ressource unter ihrer Kapazität liegt, kann sich vor ihr eine Warteschlange bilden. Kommen die Aufträge nicht in regelmäßigen Abständen an, ballen sich einige zur selben Zeit. Schwanken die Bearbeitungszeiten, hält ein langer Auftrag die nachfolgenden auf. Die spätere Lücke kann die mittlere Kapazität als ausreichend erscheinen lassen; sie macht das frühere Warten aber nicht ungeschehen. Daher kann ein voll belegter Plan, der nur mit mittleren Zeiten aufgestellt wurde, im tatsächlichen Fluss lange Durchlaufzeiten erzeugen. Die Warteschlangenuntersuchung hat nicht zum Ziel, die Beschäftigten jede Minute auszulasten. Sie hilft zu verstehen, wie sich Ankunft, Bedienung, Variabilität und Ressourcenspielraum gemeinsam im Fluss niederschlagen; sie nimmt der lokalen Auslastung die Rolle als alleiniges Erfolgskriterium.

Der in dieser Lektion gegebene Ansatz gilt für einen Fluss mit einer Bedienressource, der über einen ausreichend langen Zeitraum im Gleichgewicht ist und dessen Ankunftsrate unter der Bedienrate liegt. Die Aufträge werden in der Ankunftsreihenfolge bearbeitet; die Ressource wechselt nicht zu einem anderen, bevor sie einen Auftrag beendet hat. Die Variabilität der Ankunftsabstände und der Bedienzeiten wird zusammengefasst. Mehrere parallele Ressourcen, Prioritätswechsel, Losverzögerung, Blockierung durch die nachfolgende Station oder häufige Unterbrechungen liegen außerhalb dieses einfachen Umfangs. In solchen Fällen liefert der Ansatz nicht unmittelbar ein sicheres Ergebnis. Zuerst wird gefragt, welchen Fluss das Modell abbildet. Dass man eine Formel in der Hand hat, bedeutet nicht, dass jeder Produktions- oder Verwaltungsprozess dieselbe Warteschlangenstruktur hat. Die Ankunftsabstände gelten untereinander als unabhängig und gleich verteilt, die Bedienzeiten ebenfalls untereinander als unabhängig und gleich verteilt; beide Folgen gelten als voneinander unabhängig. Mittelwerte und Varianzen müssen endlich sein. Der Warteraum gilt als unbegrenzt, und ein Abwandern während des Wartens wird nicht angenommen. Dieser Näherungsausdruck ist besonders bei hoher Auslastung nützlich; bei allgemeinen Verteilungen ist er weder eine exakte Gleichheit noch eine Liefergarantie.

Die Auslastung ist das Verhältnis der mittleren Ankunftsrate zur mittleren Bedienrate. Steigt die Ankunft bei konstanter Bedienrate, schrumpft der Erholungsspielraum vor der Ressource. Die Wartezeit wächst nicht linear mit der Auslastung; im gegebenen Ansatz wächst das Verhältnis der Auslastung zum ungenutzten Anteil. Deshalb darf der Anstieg von 80 % auf 95 % nicht als bloße Änderung um 15 Prozentpunkte abgetan werden. Auch bei gleicher Variabilität kann sich die Wartezeit um ein Mehrfaches erhöhen. Dieselbe mittlere Arbeit gleichmäßiger heranzuführen oder unnötige Schwankung der Bedienzeit zu verringern, kann ebenfalls wirken. Kapazität hinzuzufügen ist nicht die einzige Option; die Bedingungen umsetzbarer Regelungen müssen gesondert bestätigt werden.

Littles Gesetz verbindet unter gemeinsamer Grenze und stabilen langfristigen Mittelwerten den Bestand im Prozess, die Ausbringungsrate und die Verweilzeit. Diese Beziehung ist keine Gleichung, die die Ursache einer Warteschlange erklärt; sie macht drei Maße desselben Flusses konsistent. Die Wartezeit in der Schlange an die Stelle der gesamten Verweilzeit zu setzen oder den letzten Bestand von heute für den langfristigen Mittelwert zu halten, verletzt den Geltungsbereich. Bei vorübergehender Anhäufung werden zuerst Zugang, Abgang und Bestandsänderung aufgezeichnet. Da im Zeitraum Aufträge enthalten sein können, die an verschiedenen Tagen begonnen haben, repräsentiert der Zeitmittelwert der abgeschlossenen Aufträge allein womöglich nicht die Verweilzeit des gesamten Systems. Die richtige Gleichung korrigiert eine falsche Zeit- und Objektgrenze nicht von selbst.

Formel